تبدیل ها ن گاشت : D با یک و تنها یک عضو از مجموعه نگاشت از Dبه R تناظری بین مجموعه های D و Rمتناظر باشد. Rست که در آن هر عضو مجموعه تبد ی ل : نگاشتی یک به یک از صفحه به روی خودش است یعنی در تبدیل هیچ دو نقطه ای دارای یک تصویر نیستند و هر نقطه در صفحه تصویر یک نقطه از صفحه است. ) مثال تصویر شکل زیر که دو نیم دایره تشکیل شده است (y,0) T (x,y) = به چه شکلی تبدیل می شود 1( پاره خطی به طول 6 روی محورy ها 2( پاره خطی به طول 3 روی محورy ها 3( پاره خطی به طول 6 روی محورx ها 4( پاره خطی به طول 3 روی محورx ها مثال ) با توجه به شکل های زیر کدام یک نگاشت از D R هستند A C a b c d الف ) ب ) A b c a ج ) د( A A A A C C C تذکر : تناظری نگاشت است هرگاه از هر مجموعه اول فقط یک پیکان خارج شود. مثال ) نگاشت F روی صفحه به شکل زیر است آیا F نگاشت است آیا Fیک به یک است 1
فلا) ) (x,y)=( T به فاصله 11 از مبدأ مختصات باشد آن مثال ) اگر تصویر نقطه ی A تحت نگاشت گاه نقطه در چه فاصله ای از مبدأ قرار دارد A= یاد آوری : فاصله دو نقطه A و OA= فاصله مبدأ مختصات از نقطه A T(x,y)=T(x,y ) نکته : نگاشت با ضابطه ی (x,y) T تبدیل است هرگاه مثال ) کدام یک از نگاشت های زیر تبدیل نمی باشد F (x,y) =(-x+1,_y+2) (2 T(x,y)=(x-y,-x+y) )1 G (x,y) = (-y+2, -x+3) (4 E(x,y) = (-2x,y+1) (3 مثال ) تصویر نقطه (2,5) A را تحت هر یک از تبدیل های زیر به دست آورید. T(x,y) =(x-3,y+2) 2
ب) ج) D(x,y)=(-x,y+1) ) K(x,y)=(2x+1,3y-2) مثال ) در هر یک از تبدیل های زیر مختصات نقطه ای را به دست آورید که تصویر آن نقطه (2,3) باشد. الف ) F(x,y)=(-x,5+y) ب( H(x,y)=( ازیومتری : تبدیلی که فاصله بین نقطه ها را حفظ کند ایزومتری نامیده می شود. برای توصیف هر تبدیل 2 خاصیت زیر را باید بررسی کنیم. 1( ایزومتری 2( شیب خط تذکر : A مفروض اند طول و اندازه ی شیب پاره خط و A مثال ) تبدیل T(x,y)=(x+1,2y) و نقاط را با طول و اندازه ی شیب پاره خط a bتصویر پاره خط A تحت تبدیل Tمقایسه کنید. M و P و مثال ) نقاط Nو Qرأس های مربع MNPQ هستند. الف ) این مربع و تصویرض را تحت تبدیل (x,y)=(2x,y-2) K رسم کنید. ب( آیا این تبدیل ایزومتری است مثال ) اگر T(x,y)=(x-2y,x+y) ضابطه یک نگاشت باشد و تبدیل نقطه ی A(α,β) نقطه (3,3-) A باشد مختصات نقطه A را به دست آورید. 3
A تحت مثال ) اندازه های a و b را چنان بیابید که نقطه ی تصویر نقطه ی تبدیل Tبا ضابطه ی (x,y)=(x+2,2y-3) T باشد. مثال ) نشان دهید نگاشت F(x,y)=(1-x,y) ایزومتری است ولی شیب را حفظ نمی کند. یادآوری چند فرمول : = اگر )A و دو نقطه از صفحه باشد آن گاه ( : مختصات وسط A اگر A و و C سه رأس مثلم باشند آن گاه محل برخورد میانه ها ( مرکز ثقل ) از رابطه زیر به دست می ( آید : : چند تبد ی ل خاص الف ) انتقال ب( بازتاب ج(دوران د(تجانس الف ) ااقتنل : 4
h و k نشان دهنده یک انتقال ضابطه نگاشت انتقال( تبدیل (x,y)=(x+h,y+k) T به ازای هر دو عدد حقیقی ثابت است. k (x,y) h وژیگی اهی ااقتنل : - بردار هایی که هر نقطه را به نقطه تصویرش تحت یک انتقال نظیر می سازند دارای طولهای مساوی و جهتهای یکسان هستند. - انتقال شیب خط را حفظ می کند. - انتقال یک ایزومتری است. مثال ) کدام یک از تبدیل های زیر یک انتقال است. ب(( H(x,y)=(-1+x,2-y الف ) (x,y)=(2x,y) T د(( R(x,y)=(y,x+2 ج( P(x,y)=(x-2,y+ ) انتقال یافته هر یک از شکل های زیر را تحت بردار های داده شده رسم کنید. u v W مثال A C A ) تصویر خط به معادله 3x+4y=5 تحت انتقال (x,y)=(x-2,y+a) T از نقطه (5,2) گذشته است. a مثال 6)4 5)3 4 )2 کدام است )ریاضی ( 97 2 )1 5
مثال ) تصویر مثلث (4,2-)=A (2,2) و (4,5-)C را تحت تبدیل T(x,y)=(x-2,y+3) مثلث A C می نامیم. مساحت A C را به دست آورید. مثال ) خط 2x-y+1=0 را ابتدا تحت بردار V=(k,1+k) انتقال داده و سپس تصویر آن را تحت بردار U=(1-k,-k) انتقال می دهیم تا خط d به دست آید. معادله خط d کدام است مثال ) T(x,y)=(-ax-3b,.by+4a) ضابطه یک انتقال باشد تصویر نقطه (1,1) تحت این انتقال را به دست آورید مثال ) تصویر نقطه (1,2-)A را تحت انتقال T(x,y)=(x+2,y+3) را به دست آورید و آن را A بنامید. الف ) مختصات تصویر A را تحت انتقال T (x,y)=(x-3,y+1) را به دست آوریدو آن را A بنامید. ب( ضابطه انتقالی را بنویسید که مستقیما A را به A تصویر بنماید. 6
بازاتب : به ازای هر خط Lدر صفحه بازتاب نسبت به خط L تبدیلی است که تحت آن تصویر هر نقطه Q که روی خط L نباشد نقطه ای مانند Q است به طوری که خط L عمود منصف QQ شود و تصویر هر نقطه مانند Q که روی خط L باشد خودش شود خط L محور تقارن بازتاب نامیده می شود. Q )نقطه q بازتاب خودش است( بازاتب )تقارن( : 1( بازاتب مح وری )تقارن مح وری ) 2 (بازاتب مرکزی)تقارن مرکزی( a c نکته : در بازتاب محوری محور عمود منصف پاره خط است. مثال( بازتاب هر یک از اشکال زیر را نسبت به محور داده شده رسم کنید. b تست ) کدام یک از اشکال زیر محور تقارن ندارد الف( مربع-لوزی ب( مستطیل-دایره ج(لوزی-مثلث متساوی االضالع د(مثلث مختلف االضالع متوازی االضالع n محور تقارن دارد و مرکز تقارن دارد هر nضلعی منتظم که در آن : n زوج باشد nفرد باشد n محور تقارن دارد نکته : ولی مرکز تقارن ندارد. بطور مثال مثلث متساوی االضالع 3 محور تقارن و فاقد مرکز تقارن ولی مربع 4 محور تقارن و دارای مرکز تقارن است. ویژگی های بازتاب نسبت به یک خط : - بازتاب شیب خط را الزاما حفظ نمی کند. - بازتاب جهت شکل را حفظ نمیکند. 7
- بازتاب یک ایزومتری است. یعنی M (x,y ) ابتدا شیب خط گذرنده از نقطه ی ) سپس معادله ی این خط را نوشته و آن را با معادله ی L روش تحلیلی یافتن بازاتب یک نقطه معل وم : برای یافتن مختصات نقطه بازتاب (x,y) M نسبت به خط M(x,y) و عمود بر خط L را معین می کنیم. H L MM خط L در یک دستگاه قرار دهیم دستگاه را حل میکنیم تا نقطه تالقی خط و یعنی نقطه ی به دست آید و نهایتا از فرمول وسط پاره خط استفاده میکنیم و مقدار X و y را به دست می آوریم. تست( تصویر نقطه (5-,1-)=M تحت بازتاب نسبت به خط با معادله ی 3x+y=2 را نقطه M می نامیم. قدر مطلق تفاضل طول و عرض نقطه M کدام است 11)4 7)3 8)2 9)1 ضابطه ی بازاتب اهی مه م : 1( بازتاب نسبت به محور Xها R(x,y)=(x,-y):y=0) 2( بازتاب نسبت به محور y ها R(x,y)=(-x,y):(x=0) 8
3 (بازتاب نسبت به نیسماز ناحیه اول و سوم R(x,y)=(y,x):(y=x) 4 (بازتاب نسبت به نیمساز ناحیه دوم و چهارم R(x,y)-(y,-x):(y=-x) 5( بازتاب نسبت به خط R(x,y)=(2a-x,y):x=a 6( بازتاب نسبت به خط R(x,y)=(x,2b-y):y=b مثال( مثلث (3,1)A و (7,1) و (7,3)c مفروض است. الف ) بازتاب مثلث را نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم به دست آورید. a(x,y) a (x,2b-y) Y=b ب(آیا این بازتاب ایزومتری است. چرا ج( شیب خط را حفظ میکند. چرا نکته : اگر مختصات رئوس یک مثلث به صورت Aو و C باشد مساحت مثلث از رابطه زیر به دست می آید. م مثال ) اگر L(0,6),k(10,6),j(2,2) راسهای یک مثلث باشند. الف( مثلث و تصویرش را تحت بازتاب R(x,y)=(x,-y) ب( مثلث و تصویرش را از نظر طول و شیب ظلع ها و مساحت با هم مقایسه کنید. 9
مثال( مثلث (10,6)وA(2,2) و (0,4)C مفروض است. الف ) محل برخورد میانه را به دست آورید و G بنامید. ب( بازتاب G را نسبت به خط 2-=Y نقطه G بنامید. ج( بازتاب G را نسبت به خط 2=X G بنامید و مختصات آن را بیابید. مثال ) مثلث AC با رئوس A و و C مفروض است. تحت یک بازتاب نسبت به خط D راس A روی راس C منطبق شده معادله خط D بیابید. مثال( (1,4)=a و (2-,3)=b و (5,1)C راسهای یک مثلث هستند. الف( مثلث و تصویرش را تحت بازتاب نسبت به خط 0=2+X رسم کنید. ب( مثلث و بازتاب را نسبت به خط 0=3-Y رسم کنید. 10
l :a x+b y+c =0 l:ax+by+c=0 با فرض نکته : و معادالت نیمساز دو خط برابر است با L که محور های تقارن دو خط L و می باشند و در صورتی که دو خط موازی باشند = L:ax+by+c=0 و l :ax+by+c =0 آن گاه معادله محور تقارن آنها 0= ax+by+ است.. D :4x+4y=14 مثال( دو خط D:2x+2y-5=0 و تصویر یکدیگر نسبت به خط Δ است معادله خط Δ را بنویسید.. D :4y-2x+1=0 مثال( 4x+2y-1=0 اگر خط و تصویر آن تحت بازتابی خط باشد معادله محور بازتاب را بیابید. مثال( بازتاب نقطه (1,3)A را نسبت بهش خط y=x+1 بیابید. بازت ب نسبت هب نقطه )تقارن مرکزی (: بازتاب نسبت به نقطه تبدیلی است که با یک نقطه معلوم به نام مرکز بازتاب )مرکز تقارن( مشخص می شود. اگر m تصویر m است. ضابطه تحلیی mm وسط o باشد نقطه o در بازتاب به مرکز m 11
بازتاب نسبت به نقطه o (α,β) s(x,y)=(2α-x,2β-y) : o M مثال( قرینه ی خط y=4x-3 نسبت به نقطه (1,1) o کدام است خواص بازاتب نسبت هب نقطه : 1 (تصویر هر نقطه در بازتاب نسبت به نقطه خطی است موازی با آن بنابر این تقارن مرکزی شیب را تغییر نمی دهد. D 2 (تصویر عر بردار در بازتاب نسبت به نقطه برداری قرینه با بردار مفروض است. D 3 (بازتاب نسبت به نقطه ایزومتری است. A A دوران : یک دوران به مرکز o زاویه α تبدیلی است که هر نقطه A در صفحه را به نقطه ای مانند A از آن صفحه نظیر می کند به A طوری که : الف( مرکز دوران یعنی نقطه o ثابت است. ب( اگر A نقطه ای غیر از o باشد آنگاه OA=OA و A A =α )زاویه دوران( α O وژیگی اهی دوران : 1 دوران مرکز دوران را ثابت نگه می ارد. 2- دو.ران الزاما شیب خط را حفظ نمی کند ( مگر در دوران های 181 درجه و مضارب صحیح آن( 3- دوران یک ایزومتری است. نکته : چون دومران ایزومتری است پس در دوران شکل و تصویرش همنهشت اند و لذا مساحت هم در دوران ثابت نگه داشته می شود. 12
نکته : ترکیب چند دورانهم مرکز یک دوران به همان مرکز است که زاویه ی دوران جمع جبری هر یک از زاویه های دوران ها می باشد. ضابطه ی چند دوران خاص : الف( ضابطهی دوران به مرکز مبدأ مختصات و زاویه ی به صورت R(x,y)=(-y,x) است. ب( ضابطه ی دوران به مرکز مبدأ مختصات و زاویه ی 181 به صورت R(x,y)=(-x,-y) است. ج( ضابطه ی دوران به مرکز مبدآ مختصات و زاویه ی 2 به صورت R(x,y)=(y,-x) است. نکته : دوران به مرکز oزاویه 181 بازتاب نسبت به نقطه o نیز هست در این حالت نقطهo مرکز تقران است. نکته : اگر α )زاویه دوران(مثبت باشد دوران در خالف جهت حرکت عقربه های ساعت است و اگر منفی باشد در جهت حرکت عقربه های ساعت می باشد. مثال( نقاط (3-,1-)A و (7,2) و (5,6)C و (3,2-)D رأس های یک مستطیل هستند. الف( مستطیل اصویرش را تحت دوران R(x,y)=(y,-x) رسم کنید. ب( طول و شیب ضلع هاو مساحت را در مستطیل و تصویرش با هم مقایسه کنید. م مثال( نقاط (2,3)A و (4,5)b مفروضند دوران یافته نقاط A, را نسبت به مرکز (0,0) و زاویه آورید سپس مشخص کنید آیا این دوران ایزومتری است آیا شیب خط را حفظ می کند. چرا به دست مثال( ترکیب دو دوران با یک مرکز و به زاویه های 51 و 131 چه نوع تبدیلی است 4 (تقارن محوری 3 (تجانس 1( تقارن مرکزی 2 (انتقال 13
نکته : دوران به زاویه 181 همان تقارن مرکزی است. نکت ه تستی: مارت ی س دوران ) به کمک یک مارتیس میتوان تصویر نقاط را نسبت به هر زاویه ای به دست آورد. اگر زاویه دلخواه را با θ نشان دهیم ماتریس دوران به صورت است. اگر یک نقطه و تصویر آن تحت دوران به زاویه α و مرکز (0,0) باشد A تحت دوران 61 درجه حول مبدآ را به دست آ>رید. مثال( دوران یافته نقطه م. مرا ح ل هب دست آوردن مرکز دوران : 1( دو نقطه روی شکل اولیه را به نقاط نظیرشان از شکل دوران یافته وصل می کنیم. 2 (عمود منصف های این دوپاره خط را رسم میکنیم. 3 (نقطه برخورد این دو عمود منصف مرکز دوران است. مثال( در شکل مقابل دو پاره خط A و A هم اندازه اند. اگر فرض کنیم A دوران یافته A با زاویه α به A مرکز O باشد نقطه O و زاویه دوران را روی شکل نشان دهید. نقطه O روی عمود منصف های AA و A قرار دارد پس عمود منصف های AA و A را رسم می کنیم و محل برخورد آنهارا o می نامیم. A در ضمن A و A را امتداد می دهیم. محل برخورد آنهارا M می نامیم. در نقطه M دو زاویه پدید می آید زاویه ای که نقطه O داخلش نباشد زاویه دوران )α( است. مثال( تحت یک دوران نقطه (2-,3) به نقطه (2,3) تصویر می شود. ضابطه دوران و نوع آن را مشخص کنید تجا ن س : تحت تجانس همه ابعاد یک شکل با یک عامل K که نسبت تجانس )عامل مقیاس( نامیده می شود. بزرگ یا کوچک می شود. 14
تجا ن س هب مرکز O و نسبت K: تبدیلی است که هر نقطه A در صفحه را به نقطه ای مانند A از آن صفحه طوری نظیر کند که: الف( مرکز تجانس یعنی نقطه O ثابت باشد. ب( A روی نیم خط OA قرار گیرد و OA =K.OA A A مثال( م ضابطه نگشات تجانس : تبدیل D(X,Y)=(KX,KY) در صفحه مختصات یک تجانس با نسبت تجانس K و مرکز تجانس (0,0) 0 نکته : اگر 1<K<0 تجانس یک انقباض است. اگر K<1 تجانس یک انبساط است. وژیگی اهی تجا ن س : 1 (تجانس شیب خط را حفظ می کند. 2( تجانس مرکز تجانس ثابت می ماند. 3 (تجانس طول را با ضریب K و مساحت را با ضریب تغییر می دهد. 4 (تجانس طول یا مساحت را حفظ نمی کند )مگر در حالتی که 1=K ) 5( خط هایی که نقطه های نظیر را به هم وصل می کنند در مرکز تجانس همرسند. 6( اگر دو شکل مجانس هم باشند این دو شکل متشابه نیز هستند ولی عکس آن درست نیست. است. و 9( ترکیب دو تجانس هم مرکز با نسبتهای تجانسی با همان مرکز و نسبت م تست ) اگر D(X,Y)=(MX,3Y) ضابطه ی یک تجانس و A (-6,n) تصویر نقطه ی (2,1-)A در این تجانس باشد m+n کدام است الف( صفر ب( 3 ج( 4 د( 6 15
تست م ) اگر (2,0) M تصویر نقطه ی (3,5-)M در تجانس به مرکز (2-,4)S باشد. نسبت تجانس کدام است الف( ب( ج( د( م تست ) مجانس خط 2x+3y-6=0 را تحت تجانس به مرکز مبدأ مختصات و نمسبت تجانس مساحت ناحیه ی محدود به خط و مجانس آن و محور های مختصات کدام است در نظر می گیریم. الف( ب( ج( د( I(4,6), N(8,6) مثال( م نقاط H(2,2), A(8,2) رئوس یک ذوزنقه می باشند. الف ) ذوزنقه و تصویرش را تحت تجانس D(x,y)=( رسم کنید. ب( نوع این تجانس را بنویسید. ج( نسبت تجانس را به دست آورید. مثال( م مثلث PQR و تصویر های مجانس آن را نسبت 2 و به مرکز های P,Q,R رسم کنید. 4cm P 2c m Q 3cm R 16 م
مثال( نقاط (1,1)A و 1,3) و( C(3,1 رئوس یک مثلث اند اگر (0,0)o مرکز تجانس و تبدیل( D(x,y)=(2x,2y باشد آورید..الف ) مثلث و تصویر مجانس آن را رسم کنید. ب( مساحت مثلث AC را به دست ج(با توجه به ویژگی تجانس مساحت مثلث A C را به دست آوردید. د(نوع تجانس را مشخص کنید. تست( م کدام یک از تبدیل های زیر ایزومتری نیست الف(انتقال ب(بازتاب ج(دوران د(تجانس تبد ی ل یافته خط و معادهل آن : می دا ن م تبد ی ل یافته ره خط راست یک خط راست است بنارباین ربای پیدا کردن تصوری یک خط مرا ح ل زری را انجام می دهید. الف( دو نقطه از خط را پیدا کنی م. ب( تصوری دو نقطه را تح ت تبد ی ل هب دست آور ی م. ج(معادهل خط ی را می ن و یس ی م هک از آن دو نقطه می گذرند. م مثال( تبدیل یافته خطی x-7y-21=03 را تحت تبدیل )x+1,y-1(=)x,y(t را به دست آورید. م مثال( معادله تصویر خط x+6y-12=02 را تحت بازتاب نسبت به محور x ها به دست آورید و خط و تصویر آن را رسم کنید. م مثال( معادله تصویر خط x+3y=62 را تحت بازتاب نسبت به نقطه (2,3)W به دست آورید. 17
و 1 ) 2 حول) 1) را به دست آورید. م مثال( معادله تصویر خط x-y+6=03 تحت دوران اثبات با استفاده از تبد ی ل اه : با توهج هب وژیگی اهی تبدیالت می توان بع ض ی از قضیه اه و مسا ئ ل را اثبات نم ود ربخی از این وژیگی اه عبارتند از : 1( در هر یک از این تبدیل ها تبدیل یافته خط راست خط راست است. 2( طول پاره خط و اندازه زاویه تحت انتقال دوران و بازتاب محوری و یا بازتاب مرکزی ثابت می ماند. 3( اگر دو خط موازی باشند هر یک از آنها می تواند تحت یک انتقال دوران 181 یا بازتاب بر روی دیگری نگاشته شود. 4( یک خط می تواند تحت یک انتقال دوران 181 یا بازتاب بر روی خودش نگاشته شود. 5 (عمود منصف هر پاره خط A محور تقارن بازتابی است که دو سر آن را روی یکدیگر تصویر می کند. 6( اگر دو خط متقاطع باشند هر یک از آنها می توانند تحت یک دوران یا بازتاب بر روی دیگری نگاشته شود. نیمساز زاویه تشکیل شده بین خط و تصویرش محور تقارن است )ب( زاویه تشکیل شده بین خط و تصویرش برابر است با زاویه دوران ( الف( 9( با توجه به شکل الف زاویه ی هر خط با دوران یافته اش برابر زاویه دوران می باشد. مثالهای کتاب صفحه 124 و 125 حتما مطالعه شود و همچنین صفحه. 129 18